Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1...

Phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+m+3=0$ ( $m$ là tham số thực).
Ta có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( m+3 \right)={{m}^{2}}+m-2$.
Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -2 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. $ thì phương trình có nghiệm thựC. Khi đó theo đầu bài, nghiệm $ {{z}_{0}} $ phải thỏa mãn $ \left| {{z}_{0}}+2 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}+2=6 \\
& {{z}_{0}}+2=-6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=4 \\
& {{z}_{0}}=-8 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó suy ra $\left[ \begin{aligned}
& {{4}^{2}}-2\left( m+1 \right)4+m+3=0 \\
& {{\left( -8 \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)\left( -8 \right)+m+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{11}{7} \\
& m=-\dfrac{83}{17} \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2<0\Leftrightarrow -2<m<1$ thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ với ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$ $\Rightarrow $ $\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| \overline{{{z}_{1}}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|$. Do đó theo điều kiện đầu bài, ta có
$\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|=6$ $\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+2 \right|\left| {{z}_{2}}+2 \right|=36\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+4 \right|=36$
$\Leftrightarrow \left| m+3+4\left( m+1 \right)+4 \right|=36$ $\Leftrightarrow \left| 5m+11 \right|=36$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 5m+11=36 \\
& 5m+11=-36 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=5 \\
& m=-\dfrac{47}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy với $m=\dfrac{11}{7}$ hoặc $m=-\dfrac{83}{17}$ thì phương trình có nghiệm phức thỏa mãn điều kiện đầu bài.