Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1...

Xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+m+3=0 \left( 1 \right)$
Ta có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m-3={{m}^{2}}+m-2.$.
Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -2 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. $ thì phương trình $ \left( 1 \right)$ có nghiệm thực:
$\left| {{z}_{0}}+2 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=4 \\
& {{z}_{0}}=-8 \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{z}_{0}}=4$ : thay vào $\left( 1 \right)$, được: $m=\dfrac{11}{7}$ (TM)
Với ${{z}_{0}}=-8$ : thay vào $\left( 1 \right)$, được: $m=-\dfrac{83}{17}$ (TM)
Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2<0\Leftrightarrow -2<m<1$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm phức $\left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=m+1-i\sqrt{{{m}^{2}}+m-2} \\
& {{z}_{0}}=m+1+i\sqrt{{{m}^{2}}+m-2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\left| {{z}_{0}}+2 \right|=6\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+m-2 \right)=36\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+7m-29=0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy có 4 giá trị của tham số $m$ để bài toán thỏa mãn.