Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2a-3=0$ ( $a$ là tham số thực) có $2$ nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$. Gọi $M$, $N$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có $2$ giá trị ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$ của tham số $a$ để tam giác $OMN$ có một góc bằng $120{}^\circ $. Tổng ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ bằng
A. $6$.
B. $4$.
C. $-4$.
D. $-6$.
A. $6$.
B. $4$.
C. $-4$.
D. $-6$.
Để tam giác $OMN$ có một góc bằng $120{}^\circ $ thì phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2a-3=0$ có 2 nghiệm phức. Khi đó điều kiện là
$\Delta <0\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}-4\left( 2a-3 \right)<0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-12a+16<0\Leftrightarrow 6-2\sqrt{5}<a<6+2\sqrt{5}.$
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Do tam giác $OMN$ cân tại $O\Rightarrow OI=\dfrac{OM}{2}.$
Ta có $I\left( \dfrac{2-a}{2};0 \right),M\left( \dfrac{2-a}{2};\dfrac{\sqrt{-\left( {{a}^{2}}-12a+16 \right)}}{2} \right).$
$OI=\dfrac{OM}{2}\Rightarrow \left| \dfrac{2-a}{2} \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( \dfrac{2-a}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{-{{a}^{2}}+12a-16}{4}}$
${{\left( 2-a \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{2-a}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{-{{a}^{2}}+12a-16}{4}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}=6.$
$\Delta <0\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}-4\left( 2a-3 \right)<0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-12a+16<0\Leftrightarrow 6-2\sqrt{5}<a<6+2\sqrt{5}.$
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Do tam giác $OMN$ cân tại $O\Rightarrow OI=\dfrac{OM}{2}.$
Ta có $I\left( \dfrac{2-a}{2};0 \right),M\left( \dfrac{2-a}{2};\dfrac{\sqrt{-\left( {{a}^{2}}-12a+16 \right)}}{2} \right).$
$OI=\dfrac{OM}{2}\Rightarrow \left| \dfrac{2-a}{2} \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( \dfrac{2-a}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{-{{a}^{2}}+12a-16}{4}}$
${{\left( 2-a \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{2-a}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{-{{a}^{2}}+12a-16}{4}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}=6.$
Đáp án A.