Trên tập hợp các số phức, gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$...

Xét phương trình $m{z}^2+2(m+1)z-m+6=0$.
Trường hợp 1: $m=0\Rightarrow$ Phương trình đã cho có dạng $2z+6=0\iff z=-3\Rightarrow \left|z\right|=3$ không thõa mãn.
Trường hợp 2: $m\ne 0$
Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(m+1)}^2-m(-m+6)=2m^2-4m+1$.
Nếu: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0\iff 2m^2-4m+1\ge 0\iff [\begin{array}{rl}& m\le {\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}\\ & m\ge {\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}\end{array}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực $\Rightarrow$ $z_0$ là số thực Theo bài ra, ta có $\left|z_0\right|=1\iff [\begin{array}{rl}& z_0=1\\ & z_0=-1\end{array}$.
Với $z_0=1$, ta có $m+2m+2-m+6=0\iff m=-4$ (thỏa mãn ).
Với $z_0=-1$, ta có $m-2m-2-m+6=0\iff m=2$ ( thỏa mãn ).
Nếu: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\iff 2m^2-4m+1<0\iff {\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}<m<{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{2}}$, thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức.
$z_0$ là nghiệm của phương trình đã cho $\Rightarrow$ $\overline{z_0}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Áp dụng hệ thức viét, ta có $z_0.\overline{z_0}={\displaystyle \frac{-m+6}{m}}$ mà $z_0.\overline{z_0}={\left|z_0\right|}^2=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{-m+6}{m}}=1\iff m=3$ (không thõa mãn). Vậy $m=-4;m=2\Rightarrow S=-2$.