Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình $m{{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z-m+6=0$ có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=1$. Tính $S$.
A. $3$.
B. $-4$.
C. $1$.
D. $-2$.
A. $3$.
B. $-4$.
C. $1$.
D. $-2$.
Xét phương trình $m{{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z-m+6=0$.
Trường hợp 1: $m=0\Rightarrow $ Phương trình đã cho có dạng $2z+6=0\Leftrightarrow z=-3\Rightarrow \left| z \right|=3$ không thõa mãn.
Trường hợp 2: $m\ne 0$
Ta có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( -m+6 \right)=2{{m}^{2}}-4m+1$.
Nếu: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \\
& m\ge \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực $ \Rightarrow $ $ {{z}_{0}} $ là số thực Theo bài ra, ta có $ \left| {{z}_{0}} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=1 \\
& {{z}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{z}_{0}}=1$, ta có $m+2m+2-m+6=0\Leftrightarrow m=-4$ (thỏa mãn ).
Với ${{z}_{0}}=-1$, ta có $m-2m-2-m+6=0\Leftrightarrow m=2$ ( thỏa mãn ).
Nếu: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1<0\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}<m<\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$, thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức.
${{z}_{0}}$ là nghiệm của phương trình đã cho $\Rightarrow $ $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Áp dụng hệ thức viét, ta có ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}=\dfrac{-m+6}{m}$ mà ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=1\Rightarrow \dfrac{-m+6}{m}=1\Leftrightarrow m=3$ (không thõa mãn). Vậy $m=-4;m=2\Rightarrow S=-2$.
Trường hợp 1: $m=0\Rightarrow $ Phương trình đã cho có dạng $2z+6=0\Leftrightarrow z=-3\Rightarrow \left| z \right|=3$ không thõa mãn.
Trường hợp 2: $m\ne 0$
Ta có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( -m+6 \right)=2{{m}^{2}}-4m+1$.
Nếu: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \\
& m\ge \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực $ \Rightarrow $ $ {{z}_{0}} $ là số thực Theo bài ra, ta có $ \left| {{z}_{0}} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=1 \\
& {{z}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{z}_{0}}=1$, ta có $m+2m+2-m+6=0\Leftrightarrow m=-4$ (thỏa mãn ).
Với ${{z}_{0}}=-1$, ta có $m-2m-2-m+6=0\Leftrightarrow m=2$ ( thỏa mãn ).
Nếu: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1<0\Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{2}}{2}<m<\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$, thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức.
${{z}_{0}}$ là nghiệm của phương trình đã cho $\Rightarrow $ $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Áp dụng hệ thức viét, ta có ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}=\dfrac{-m+6}{m}$ mà ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=1\Rightarrow \dfrac{-m+6}{m}=1\Leftrightarrow m=3$ (không thõa mãn). Vậy $m=-4;m=2\Rightarrow S=-2$.
Đáp án D.