Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức,cho phương trình ${{z}^{2}}+2mz+2{{m}^{2}}+1=0$ ( với $m$ là số thực) có $2$ nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$. Gọi $M$, $N$ là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính tích các giá trị của $m$ để diện tích tam giác $OMN$ bằng $2\sqrt{5}$.
A. $0$.
B. $-4$.
C. $4$.
D. $20$.
A. $0$.
B. $-4$.
C. $4$.
D. $20$.
Xét ${{z}^{2}}+2mz+2{{m}^{2}}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=-m-i\sqrt{{{m}^{2}}+1}={{z}_{1}} \\
& z=-m+i\sqrt{{{m}^{2}}+1}={{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$M(-m;-\sqrt{{{m}^{2}}+1}),N(-m;\sqrt{{{m}^{2}}+1})\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OM}(-m;-\sqrt{{{m}^{2}}+1}), \\
& \overrightarrow{ON}(-m;\sqrt{{{m}^{2}}+1}) \\
\end{aligned} \right.$
Bài ra ${{S}_{\Delta OMN}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{{{\overrightarrow{OM}}^{2}}.{{\overrightarrow{ON}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}$
$\left| m \right|.\sqrt{{{m}^{2}}+1}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{m}^{4}}+{{m}^{2}}-20=0\Leftrightarrow m=\pm 2$
& z=-m-i\sqrt{{{m}^{2}}+1}={{z}_{1}} \\
& z=-m+i\sqrt{{{m}^{2}}+1}={{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$M(-m;-\sqrt{{{m}^{2}}+1}),N(-m;\sqrt{{{m}^{2}}+1})\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OM}(-m;-\sqrt{{{m}^{2}}+1}), \\
& \overrightarrow{ON}(-m;\sqrt{{{m}^{2}}+1}) \\
\end{aligned} \right.$
Bài ra ${{S}_{\Delta OMN}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{{{\overrightarrow{OM}}^{2}}.{{\overrightarrow{ON}}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}$
$\left| m \right|.\sqrt{{{m}^{2}}+1}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{m}^{4}}+{{m}^{2}}-20=0\Leftrightarrow m=\pm 2$
Đáp án B.