Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình ${{z}^{2}}-4z+\dfrac{c}{d}=0$ (với $c\in \mathbb{Z};d\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và phân số $\dfrac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều, giá trị của biểu thức $P=2c-5d$ bằng
A. $P=16$.
B. $P=19$.
C. $P=17$.
D. $P=22$.
A. $P=16$.
B. $P=19$.
C. $P=17$.
D. $P=22$.
Xét phương trình ${{z}^{2}}-4z+\dfrac{c}{d}=0\quad \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$
$\Rightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=a+bi \\
& {{z}_{2}}=a-bi \\
\end{aligned} \right.\left( a,b\in \mathbb{R} \right) $; $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a=4\Rightarrow a=2 \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{c}{d} \\
\end{aligned} \right. $ và $ A\left( a;b \right),B\left( a;-b \right)$
$\Delta OAB$ đều $\Rightarrow O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -2b \right)}^{2}}\Rightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{c}{d}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{16}{3}$. Vậy $2c-5d=17$.
$\Rightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=a+bi \\
& {{z}_{2}}=a-bi \\
\end{aligned} \right.\left( a,b\in \mathbb{R} \right) $; $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2a=4\Rightarrow a=2 \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{c}{d} \\
\end{aligned} \right. $ và $ A\left( a;b \right),B\left( a;-b \right)$
$\Delta OAB$ đều $\Rightarrow O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -2b \right)}^{2}}\Rightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{c}{d}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{16}{3}$. Vậy $2c-5d=17$.
Đáp án C.