Google
Câu hỏi: Trên một sợi dây $OB$ căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng với tần số $f$ xác định. Gọi $M,N$ và $P$ là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng cách $B$ lần lượt là $4 cm,6 cm$ và $38 cm$. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời điểm ${{t}_{1}}$ (đường 1) và ${{t}_{2}}={{t}_{1}}+\dfrac{11}{12f}$ (đường 2). Tại thời điểm ${{t}_{1}}$, li độ của phần tử dây ở $N$ bằng biên độ của phần tử dây ở $M$ và tốc độ của phần tử
dây ở $M$ là $60 cm/s$. Tại thời điểm ${{t}_{2}}$, vận tốc của phần tử dây ở $P$ là
A. $20\sqrt{3} cm/s.$
B. $60 cm/s.$
C. $-20\sqrt{3} cm/s.$
D. $-60 cm/s.$
Từ độ thị ta thấy: $\ell =OB=4.12=48\left( cm \right);$
$\lambda =\dfrac{\ell }{2}=24\left( cm \right)$
$MB=4\left( cm \right)=\dfrac{\lambda }{6};NB=6\left( cm \right)=\dfrac{\lambda }{4}$
$PB=38\left( cm \right)=\dfrac{19\lambda }{12}=\dfrac{3\lambda }{2}+\dfrac{\lambda }{12}$
Do $B$ là nút nên $N$ là bụng sóng, $M,N$ cùng một bó sóng nên dao động cùng pha, $P$ dao động ngược chiều với $M$ và $N.$
Phương trình sóng dừng tại điểm cách nút một khoảng $d$ có dạng:
$u=2a\cos \left( \dfrac{2\pi d}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right)\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$
Biên độ sóng tại $M,N,P$ :
${{A}_{M}}=\left| 2a\cos \left( \dfrac{2\pi .\dfrac{\lambda }{6}}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right) \right|=a\sqrt{3};$ ${{A}_{N}}=\left| 2a\cos \left( \dfrac{2\pi .\dfrac{\lambda }{4}}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right) \right|=2a;$ ${{A}_{P}}=\left| 2a\cos \left( \dfrac{2\pi .\dfrac{19\lambda }{12}}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right) \right|=a$
Do đó nếu ${{u}_{M}}=a\sqrt{3}\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì ${{u}_{P}}=-a\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$
Tại thời điểm ${{t}_{1}}:{{u}_{N}}={{A}_{M}}=a\sqrt{3}=2a\cos \left( {{\omega }_{1}}t-\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \cos \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
${{v}_{M}}=-a\sqrt{3}\omega \sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right)=\omega a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=60\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \omega a=40\sqrt{3} \\
& \sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right)=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình sóng tại $P:{{u}_{P}}=-a\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow {{v}_{P}}=a\omega \sin \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$
Tại thời điểm ${{t}_{2}}={{t}_{1}}+\dfrac{11}{12f}={{t}_{1}}+\dfrac{11T}{12}$
Lúc này vận tốc của phần tử dây tại $P$ là:
${{v}_{P}}=a\omega \sin \left[ \omega \left( {{t}_{1}}+\dfrac{11T}{12} \right)-\dfrac{\pi }{2} \right]=a\omega \sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{11\pi }{6} \right)$
Biến đổi lượng giác:
$\sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{11\pi }{6} \right)=\sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right).\cos \dfrac{11\pi }{6}+\cos \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right).\sin \dfrac{11\pi }{6}=-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
${{v}_{P}}=40\sqrt{3}.\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=-60\left( cm/s \right)$
dây ở $M$ là $60 cm/s$. Tại thời điểm ${{t}_{2}}$, vận tốc của phần tử dây ở $P$ là
A. $20\sqrt{3} cm/s.$
B. $60 cm/s.$
C. $-20\sqrt{3} cm/s.$
D. $-60 cm/s.$
Từ độ thị ta thấy: $\ell =OB=4.12=48\left( cm \right);$
$\lambda =\dfrac{\ell }{2}=24\left( cm \right)$
$MB=4\left( cm \right)=\dfrac{\lambda }{6};NB=6\left( cm \right)=\dfrac{\lambda }{4}$
$PB=38\left( cm \right)=\dfrac{19\lambda }{12}=\dfrac{3\lambda }{2}+\dfrac{\lambda }{12}$
Do $B$ là nút nên $N$ là bụng sóng, $M,N$ cùng một bó sóng nên dao động cùng pha, $P$ dao động ngược chiều với $M$ và $N.$
Phương trình sóng dừng tại điểm cách nút một khoảng $d$ có dạng:
$u=2a\cos \left( \dfrac{2\pi d}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right)\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$
Biên độ sóng tại $M,N,P$ :
${{A}_{M}}=\left| 2a\cos \left( \dfrac{2\pi .\dfrac{\lambda }{6}}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right) \right|=a\sqrt{3};$ ${{A}_{N}}=\left| 2a\cos \left( \dfrac{2\pi .\dfrac{\lambda }{4}}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right) \right|=2a;$ ${{A}_{P}}=\left| 2a\cos \left( \dfrac{2\pi .\dfrac{19\lambda }{12}}{\lambda }+\dfrac{\pi }{2} \right) \right|=a$
Do đó nếu ${{u}_{M}}=a\sqrt{3}\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì ${{u}_{P}}=-a\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$
Tại thời điểm ${{t}_{1}}:{{u}_{N}}={{A}_{M}}=a\sqrt{3}=2a\cos \left( {{\omega }_{1}}t-\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \cos \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
${{v}_{M}}=-a\sqrt{3}\omega \sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right)=\omega a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=60\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \omega a=40\sqrt{3} \\
& \sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right)=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình sóng tại $P:{{u}_{P}}=-a\cos \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow {{v}_{P}}=a\omega \sin \left( \omega t-\dfrac{\pi }{2} \right)$
Tại thời điểm ${{t}_{2}}={{t}_{1}}+\dfrac{11}{12f}={{t}_{1}}+\dfrac{11T}{12}$
Lúc này vận tốc của phần tử dây tại $P$ là:
${{v}_{P}}=a\omega \sin \left[ \omega \left( {{t}_{1}}+\dfrac{11T}{12} \right)-\dfrac{\pi }{2} \right]=a\omega \sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{11\pi }{6} \right)$
Biến đổi lượng giác:
$\sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{11\pi }{6} \right)=\sin \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right).\cos \dfrac{11\pi }{6}+\cos \left( \omega {{t}_{1}}-\dfrac{\pi }{2} \right).\sin \dfrac{11\pi }{6}=-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left( -\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
${{v}_{P}}=40\sqrt{3}.\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=-60\left( cm/s \right)$
Đáp án D.