Google
Câu hỏi: Trên một cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung.
A. $2,824{{m}^{2}}$.
B. $1,989{{m}^{2}}$.
C. $1,034{{m}^{2}}$.
D. $1,574{{m}^{2}}$.
Gọi $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\vee \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần ăn cỏ của 2 con bò.
Xét phần phía trên $\text{Ox}$
$\begin{aligned}
& \left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\Rightarrow y=\sqrt{9-{{x}^{2}}} \\
& \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow y=\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-12} \\
\end{aligned}$
Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-12}\Leftrightarrow x=\dfrac{21}{8}$
Vậy $S=2\left[ \int\limits_{2}^{\dfrac{21}{8}}{\sqrt{4-{{\left( x-4 \right)}^{2}}}}\text{d}x+\int\limits_{\dfrac{21}{8}}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}}\text{d}x \right]$
$I=\int\limits_{\dfrac{21}{8}}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}}\text{d}x\overset{x=3\sin t}{\mathop{=}} \int\limits_{\arcsin \dfrac{7}{8}}^{\dfrac{\pi }{6}}{9{{\cos }^{2}}t\text{d}t}=9.\int\limits_{\arcsin \dfrac{7}{8}}^{\dfrac{\pi }{6}}{\dfrac{\cos 2t+1}{2}\text{d}t=\left. 9\left( \dfrac{1}{4}\sin 2t+\dfrac{t}{2} \right) \right|}_{\arcsin \dfrac{7}{8}}^{\dfrac{\pi }{6}}\approx 0,3679$
$J=\int\limits_{2}^{\dfrac{21}{8}}{\sqrt{4-{{\left( x-4 \right)}^{2}}}}\text{d}x\overset{x-4=2\sin t}{\mathop{=}} \int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( -\dfrac{11}{16} \right)}{4{{\cos }^{2}}t\text{d}t}=4.\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( -\dfrac{11}{16} \right)}{\dfrac{\cos 2t+1}{2}\text{d}t=\left. 4\left( \dfrac{1}{4}\sin 2t+\dfrac{t}{2} \right) \right|}_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( -\dfrac{11}{16} \right)}\approx 0,627$
$\Rightarrow S\approx 1,9898$.
A. $2,824{{m}^{2}}$.
B. $1,989{{m}^{2}}$.
C. $1,034{{m}^{2}}$.
D. $1,574{{m}^{2}}$.
Gọi $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\vee \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần ăn cỏ của 2 con bò.
Xét phần phía trên $\text{Ox}$
$\begin{aligned}
& \left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\Rightarrow y=\sqrt{9-{{x}^{2}}} \\
& \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Rightarrow y=\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-12} \\
\end{aligned}$
Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\sqrt{-{{x}^{2}}+8x-12}\Leftrightarrow x=\dfrac{21}{8}$
Vậy $S=2\left[ \int\limits_{2}^{\dfrac{21}{8}}{\sqrt{4-{{\left( x-4 \right)}^{2}}}}\text{d}x+\int\limits_{\dfrac{21}{8}}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}}\text{d}x \right]$
$I=\int\limits_{\dfrac{21}{8}}^{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}}\text{d}x\overset{x=3\sin t}{\mathop{=}} \int\limits_{\arcsin \dfrac{7}{8}}^{\dfrac{\pi }{6}}{9{{\cos }^{2}}t\text{d}t}=9.\int\limits_{\arcsin \dfrac{7}{8}}^{\dfrac{\pi }{6}}{\dfrac{\cos 2t+1}{2}\text{d}t=\left. 9\left( \dfrac{1}{4}\sin 2t+\dfrac{t}{2} \right) \right|}_{\arcsin \dfrac{7}{8}}^{\dfrac{\pi }{6}}\approx 0,3679$
$J=\int\limits_{2}^{\dfrac{21}{8}}{\sqrt{4-{{\left( x-4 \right)}^{2}}}}\text{d}x\overset{x-4=2\sin t}{\mathop{=}} \int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( -\dfrac{11}{16} \right)}{4{{\cos }^{2}}t\text{d}t}=4.\int\limits_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( -\dfrac{11}{16} \right)}{\dfrac{\cos 2t+1}{2}\text{d}t=\left. 4\left( \dfrac{1}{4}\sin 2t+\dfrac{t}{2} \right) \right|}_{-\dfrac{\pi }{2}}^{\arcsin \left( -\dfrac{11}{16} \right)}\approx 0,627$
$\Rightarrow S\approx 1,9898$.
Đáp án B.