Google
Câu hỏi: Trên mặt phẳng $\left( P \right)$ cho ba hình tròn bán kính $a$ tâm là ${{O}_{1}};{{O}_{2}};{{O}_{3}}$ đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cùng cách $\left( P \right)$ một khoảng $2a\sqrt{2}$. Mặt cầu tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}} \right)$ và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng
A. $a\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi mặt cầu cần tìm là $\left( O;R \right)$ và tiếp điểm của nó với $\left( {{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}} \right)$ là $I$. Thiết diện qua $O,{{O}_{1}},{{S}_{1}}$ như hình vẽ trên. Dễ thấy ${{S}_{1}}I=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Mặt khác, ta có: ${{S}_{\Delta {{S}_{1}}AB}}=\left( \dfrac{{{S}_{1}}A+{{S}_{1}}B+2a}{2} \right).{{O}_{1}}K\Leftrightarrow {{O}_{1}}K=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{\left( a+3a \right)}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $\Delta {{S}_{1}}IO\#\Delta A{{O}_{1}}K\Rightarrow \dfrac{OI}{{{O}_{1}}K}=\dfrac{I{{S}_{1}}}{A{{O}_{1}}}\Rightarrow R=OI=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
A. $a\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi mặt cầu cần tìm là $\left( O;R \right)$ và tiếp điểm của nó với $\left( {{S}_{1}}{{S}_{2}}{{S}_{3}} \right)$ là $I$. Thiết diện qua $O,{{O}_{1}},{{S}_{1}}$ như hình vẽ trên. Dễ thấy ${{S}_{1}}I=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Mặt khác, ta có: ${{S}_{\Delta {{S}_{1}}AB}}=\left( \dfrac{{{S}_{1}}A+{{S}_{1}}B+2a}{2} \right).{{O}_{1}}K\Leftrightarrow {{O}_{1}}K=\dfrac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{\left( a+3a \right)}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $\Delta {{S}_{1}}IO\#\Delta A{{O}_{1}}K\Rightarrow \dfrac{OI}{{{O}_{1}}K}=\dfrac{I{{S}_{1}}}{A{{O}_{1}}}\Rightarrow R=OI=\dfrac{\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án B.