Trên mặt phẳng $(P)$ cho ba hình tròn bán kính $a$ ...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Trên mặt phẳng

(P)

cho ba hình tròn bán kính

a

tâm là

O_{1}; O_{2}; O_{3}

đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm

S_{1}, S_{2}, S_{3}

nằm cùng phía đối với mặt phẳng

(P)

và cùng cách

(P)

một khoảng

2 a \sqrt{2}

. Mặt cầu tiếp xúc với

(S_{1} S_{2} S_{3})

và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng
A.

a \sqrt{2}

.
B.

\frac{a \sqrt{6}}{3}

.
C.

\frac{a \sqrt{6}}{2}

.
D.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.

Gọi mặt cầu cần tìm là

(O; R)

và tiếp điểm của nó với

(S_{1} S_{2} S_{3})

là

I

. Thiết diện qua

O, O_{1}, S_{1}

như hình vẽ trên. Dễ thấy

S_{1} I = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}

.
Mặt khác, ta có:

S_{Δ S_{1} A B} = (\frac{S_{1} A + S_{1} B + 2 a}{2}) . O_{1} K \Leftrightarrow O_{1} K = \frac{2 a^{2} \sqrt{2}}{(a + 3 a)} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.
Ta có:

Δ S_{1} I O # Δ A O_{1} K \Rightarrow \frac{O I}{O_{1} K} = \frac{I S_{1}}{A O_{1}} \Rightarrow R = O I = \frac{\frac{2 a \sqrt{3}}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.

Đáp án B.

Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a...