Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng

(S C D)

và

(A B C D)

bằng

45^{\circ}

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
A.

a \sqrt{2} .

B.

\frac{3 a \sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{3 a \sqrt{2}}{4} .

D.

a \sqrt{6} .

Trong

(A B C D)

kẻ

H M ⊥ C D (M \in C D)

.
Ta có:

{\begin{aligned} C D ⊥ S H (S H ⊥ (A B C D)) \\ C D ⊥ H M \end{aligned} \Rightarrow C D ⊥ (S H M) \Rightarrow C D ⊥ S M

\begin{aligned} {\begin{aligned} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ (S C D) \supset S M ⊥ C D \\ (A B C D) \supset H M ⊥ C D \end{aligned} \\ \Rightarrow \hat{(S C D), (A B C D)} = \hat{(S M, H M)} = \hat{S M H} = 45^{\circ} \end{aligned}

Trong

(S H M)

kẻ

H K ⊥ S M (K \in S M)

ta có:

{\begin{aligned} H K ⊥ S M \\ H K ⊥ C D \end{aligned} \Rightarrow H K ⊥ (S C D)

.
Ta có:

A B / / C D \Rightarrow d (A B; S C) = d (A B; (S C D)) = d (A; (S C D))

.

A H \cap (S C D) = C \Rightarrow \frac{d (A; (S C D))}{d (H; (S C D))} = \frac{A C}{H C} = \frac{4}{3} \Rightarrow d (A; (S C D)) = \frac{4}{3} d (H; (S C D)) = \frac{4}{3} H K

.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\frac{H M}{A D} = \frac{H C}{A C} = \frac{3}{4} \Rightarrow H M = \frac{3}{4} A D = \frac{3 a}{2}

.
Xét tam giác vuông HMK:

H K = H M . \sin 45^{\circ} = \frac{3 a}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}

.
Vậy

d (A B; S C) = \frac{4}{3} . \frac{3 a \sqrt{2}}{4} = a \sqrt{2} .

Đáp án A.

Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page