Google
Câu hỏi: Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $x+y+z=2$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$. Gọi điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\min c\in \left( -1;1 \right)$.
B. $\min b\in \left[ 1;2 \right]$.
C. $\max a=\min b$.
D. $\max c\in \left[ \sqrt{2};2 \right]$.
A. $\min c\in \left( -1;1 \right)$.
B. $\min b\in \left[ 1;2 \right]$.
C. $\max a=\min b$.
D. $\max c\in \left[ \sqrt{2};2 \right]$.
Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=2 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=2-c \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2-{{c}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=2-{{c}^{2}}$.
Do đó: ${{\left( 2-c \right)}^{2}}-2ab=2-{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{c}^{2}}-4c+4-2ab=2-{{c}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{c}^{2}}-4c+2=2ab\Leftrightarrow ab={{c}^{2}}-2c+1$.
Mặt khác: ${{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\Leftrightarrow {{\left( 2-c \right)}^{2}}\ge 4\left( {{c}^{2}}-2c+1 \right)$ $\Leftrightarrow 3{{c}^{2}}-4c\le 0\Leftrightarrow 0\le c\le \dfrac{4}{3}$.
Vậy $\min c=0\in \left( -1;1 \right)$.
& a+b+c=2 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=2-c \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2-{{c}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=2-{{c}^{2}}$.
Do đó: ${{\left( 2-c \right)}^{2}}-2ab=2-{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{c}^{2}}-4c+4-2ab=2-{{c}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{c}^{2}}-4c+2=2ab\Leftrightarrow ab={{c}^{2}}-2c+1$.
Mặt khác: ${{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\Leftrightarrow {{\left( 2-c \right)}^{2}}\ge 4\left( {{c}^{2}}-2c+1 \right)$ $\Leftrightarrow 3{{c}^{2}}-4c\le 0\Leftrightarrow 0\le c\le \dfrac{4}{3}$.
Vậy $\min c=0\in \left( -1;1 \right)$.
Đáp án A.