Google
Câu hỏi: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính đáy của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{4}{9}$
C. $\dfrac{5}{9}$
D. $\dfrac{2}{3}$
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{4}{9}$
C. $\dfrac{5}{9}$
D. $\dfrac{2}{3}$
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ $\Rightarrow $ Chiều cao hình trụ là $h=6\text{R}$.
Suy ra thể tích khối trụ ban đầu là $V=\pi {{R}^{2}}h=6\pi {{R}^{3}}$.
Theo bài ra, khối cầu trong hình có thể tích là ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Khối nón trong hình có bán kính đáy $r=R$, chiều cao ${{h}_{0}}=h-2\text{R}=4\text{R}\Rightarrow {{\text{V}}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}{{h}_{0}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Do đó, thể tích nước tràn ra ngoài cốc là ${{V}_{0}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{8}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Vậy tỉ số cần tìm là $\dfrac{V-{{V}_{0}}}{V}=\left( 6\pi {{R}^{3}}-\dfrac{8}{3}\pi {{R}^{3}} \right):6\pi {{R}^{3}}=\dfrac{5}{9}$.
Suy ra thể tích khối trụ ban đầu là $V=\pi {{R}^{2}}h=6\pi {{R}^{3}}$.
Theo bài ra, khối cầu trong hình có thể tích là ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Khối nón trong hình có bán kính đáy $r=R$, chiều cao ${{h}_{0}}=h-2\text{R}=4\text{R}\Rightarrow {{\text{V}}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}{{h}_{0}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Do đó, thể tích nước tràn ra ngoài cốc là ${{V}_{0}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{8}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Vậy tỉ số cần tìm là $\dfrac{V-{{V}_{0}}}{V}=\left( 6\pi {{R}^{3}}-\dfrac{8}{3}\pi {{R}^{3}} \right):6\pi {{R}^{3}}=\dfrac{5}{9}$.
Đáp án C.