Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $2{{\log }_{2}}\sqrt{x+1}\le 2-{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)$ bằng
A. $12$
B. $9$
C. $5$
D. $3$
A. $12$
B. $9$
C. $5$
D. $3$
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x+1>0 \\
& x-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>2$
$2{{\log }_{2}}\sqrt{x+1}\le 2-{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\le {{\log }_{2}}\dfrac{4}{\left( x-2 \right)}\Leftrightarrow x+1\le \dfrac{4}{\left( x-2 \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-x-2-4}{x-2}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-x-6}{x-2}\le 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;3 \right]$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x\in \left( 2;3 \right]$.
Nghiệm nguyên là: $x=3$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là $3$
& x+1>0 \\
& x-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>2$
$2{{\log }_{2}}\sqrt{x+1}\le 2-{{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)\le {{\log }_{2}}\dfrac{4}{\left( x-2 \right)}\Leftrightarrow x+1\le \dfrac{4}{\left( x-2 \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-x-2-4}{x-2}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-x-6}{x-2}\le 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;3 \right]$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x\in \left( 2;3 \right]$.
Nghiệm nguyên là: $x=3$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là $3$
Đáp án D.