Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

{(\sqrt{2} - 1)}^{x} + {(\sqrt{2} + 1)}^{x} - 6 = 0

là:
A. 1.
B.

\frac{5}{2} .

C. 6.
D. 0.

Ta có:

(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) = 1 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} {(\sqrt{2} + 1)}^{x} = 1

.
Đặt

{(\sqrt{2} + 1)}^{x} = t, t > 0 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} = \frac{1}{t} .

Khi đó phương trình trở thành:

\frac{1}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 1 = 0

.
Có

Δ^{'} = 9 - 1 = 8 > 0 \Rightarrow

Phương trình ẩn t có 2 nghiệm

t_{1}, t_{2}

phân biệt.

\Rightarrow

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm

x_{1}, x_{2}

phân biệt.
Ta có:

x_{1} + x_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} + \log_{\sqrt{2} + 1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} 1 = 0

.

Đáp án D.