Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi...

Ta có ${y}'=6{{\text{x}}^{2}}+6\left( m-1 \right)x+6m\left( 1-2m \right), {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=1-2m \\
\end{aligned} \right.$
Để hàm số có hai cực trị thì $m\ne 1-2m\Leftrightarrow m\ne \dfrac{1}{3}$. Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( m; -7{{m}^{3}}+3{{m}^{2}} \right)$, $B\left( 1-2m; 20{{m}^{3}}-24{{m}^{2}}+9m-1 \right)$.
Do đó $\overrightarrow{AB}=\left( 1-3m; {{\left( 3m-1 \right)}^{3}} \right)$. Do đó AB có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( {{\left( 3m-1 \right)}^{2}}; 1 \right)$.
Do đó $AB:{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}x+y-2{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow y=-{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}x+2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+m$
Để đường thẳng AB song song với đường thẳng $y=-4\text{x}$ thì:
$\left\{ \begin{aligned}
& -{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}=-4 \\
& 2{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& m\ne \dfrac{1}{2} \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}$.