Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3m-3$ có hai điểm cực trị $A,B$ sao cho $2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20$ ( $O$ là gốc tọa độ) bằng:
A. $-\dfrac{6}{11}$
B. $\dfrac{5}{11}$
C. $-\dfrac{13}{11}$
D. $-\dfrac{17}{11}$
A. $-\dfrac{6}{11}$
B. $\dfrac{5}{11}$
C. $-\dfrac{13}{11}$
D. $-\dfrac{17}{11}$
Ta có: $y'=3m\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì $m\ne 0$.
Ta có: $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=3m-3 \\
& x=2\Rightarrow y=-m-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử $A\left( 0;3m-3 \right),B\left( 2;-m-3 \right)$.
Ta có: $\begin{aligned}
& 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \\
& \Leftrightarrow 2\left( 4+16{{m}^{2}} \right)-\left[ {{(3m-3)}^{2}}+4+{{(-m-3)}^{2}} \right]=20 \\
& \Leftrightarrow 11{{m}^{2}}+6m-17=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{17}{11} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow $ Tổng các giá trị của $m$ bằng $-\dfrac{6}{11}$.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì $m\ne 0$.
Ta có: $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow y=3m-3 \\
& x=2\Rightarrow y=-m-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử $A\left( 0;3m-3 \right),B\left( 2;-m-3 \right)$.
Ta có: $\begin{aligned}
& 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \\
& \Leftrightarrow 2\left( 4+16{{m}^{2}} \right)-\left[ {{(3m-3)}^{2}}+4+{{(-m-3)}^{2}} \right]=20 \\
& \Leftrightarrow 11{{m}^{2}}+6m-17=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{17}{11} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow $ Tổng các giá trị của $m$ bằng $-\dfrac{6}{11}$.
Đáp án A.