Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[...

Xét phương trình: $\dfrac{2x-3}{x-1}=x+m$ $\Leftrightarrow $ $2x-3=(x+m)(x-1)$
$\Leftrightarrow $ ${{x}^{2}}+(m-3)x-m+3=0$ $(1)$
Đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương $\Leftrightarrow $ $(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương khác $1$ $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& {{(m-3)}^{2}}-4(-m+3)>0 \\
& 3-m>0 \\
& 3-m>0 \\
& 1+m-3-m+3\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<1$
Vậy các giá trị nguyên của $m$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ thỏa mãn bài toán là: $-3;-2;-1;0$
Cách 2
Xét phương trình: $\dfrac{2x-3}{x-1}=x+m$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{2x-3}{x-1}-x=m$ $\left( 2 \right)$
Xét hàm số $h(x)=\dfrac{2x-3}{x-1}-x$, ${h}'(x)=\dfrac{1}{{{(x-1)}^{2}}}-1$, ${h}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương khác $1$ Khi đó đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=h(x)$ tại hai điểm phân biệt trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$. Dựa vào BBT của hàm số $h(x)$ ta có: $m<1$.