Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình...

Ta có ${{3}^{x-3+\sqrt[3]{m-3x}}}+({{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+m){{.3}^{x-3}}={{3}^{x}}+1\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+({{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+m)=\dfrac{{{3}^{x}}+1}{{{3}^{x-3}}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+{{(x-3)}^{3}}+m-3x={{3}^{3-x}}\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+(m-3x)={{3}^{3-x}}+{{(3-x)}^{3}}$ (1).
Xét hàm số $f(t)={{3}^{t}}+{{t}^{3}}$ với $t\in \mathbb{R}$, ta có: $f'(t)={{3}^{t}}\ln 3+3{{t}^{2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow f(\sqrt[3]{m-3x})=f(3-x)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}=3-x\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x+27$ $\left( 2 \right)$.
Pt đã cho có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt $\left( 2 \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $y=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x+27$ có $y'=-3{{x}^{2}}+18x-24\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
BBT

Từ bbt suy ra pt(2) có 3 nghiệm phân biệt khi $7<m<11$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 8,9,10 \right\}$
Suy ra : $\sum{m}=27$.