Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình...

Phương trình trở thành: ${{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+m=27+{{3}^{3-x}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{\sqrt[3]{m-3x}}}+m-3x={{3}^{3-x}}+{{\left( 3-x \right)}^{3}}\Leftrightarrow f\left( \sqrt[3]{m-3x} \right)=f\left( 3-x \right)$.
Vì hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+{{t}^{3}}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
Do đó $f\left( \sqrt[3]{m-3x} \right)=f\left( 3-x \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{m-3x}=3-x\Leftrightarrow m-3x={{\left( 3-x \right)}^{3}}$
$\Leftrightarrow m=3x+{{\left( 3-x \right)}^{3}}\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x+27=g\left( x \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x+27$ trên $\mathbb{R}$, có ${g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+18x-24$ ;
Phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right. $ Bảng biến thiên hàm số $ g\left( x \right)$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m=g\left( x \right)$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 7<m<11$
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m=\left\{ 8;9;10 \right\}$ là giá trị cần tìm.