Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình...

Ta có
$\begin{aligned}
& {{3}^{{{x}^{2}}+2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}+2x+3}}\left( 2\left| x-m \right|+2 \right) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{{{x}^{2}}+2x+3}}}{{{3}^{2\left| x-m \right|+2}}}=\dfrac{\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right)}{\ln \left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)} \\
& \Leftrightarrow \ln \left( {{x}^{2}}+2x+3 \right){{.3}^{{{x}^{2}}+2x+3}}=\ln \left( 2\left| x-m \right|+2 \right){{.3}^{2\left| x-m \right|+2}} \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( t \right)=\ln \left( t \right){{.3}^{t}} ,\forall t\ge 2$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}{{3}^{t}}+\ln \left( t \right){{3}^{t}}\ln \left( 3 \right)>0 ,\forall t\ge 2$
Vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến.
$\begin{aligned}
& f\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)=f\left( 2\left| x-m \right|+2 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+3=2\left| x-m \right|+2 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+1=2\left| x-m \right| \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=-1-2m \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+4x=-1+2m \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Điều kiện cần để phương trình có 3 nghiệm là:
Th1: $\left( 1 \right)$ có nghiệm kép $\Rightarrow m=\dfrac{-1}{2}$ thử lại ta thấy thỏa mãn
Th2: $\left( 2 \right)$ có nghiệm kép $\Rightarrow m=\dfrac{-3}{2}$ thử lại ta thấy thỏa mãn
Th3: $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ có nghiệm chung $\Rightarrow x=m$.Thế $\left( 1 \right)$ vào ta có $m=-1$
Ta có $\dfrac{-1}{2}+\dfrac{-3}{2}+\left( -1 \right)=-3$.