Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình...

Ta có
$\begin{array}{rl}& 3^{x^2+2x+1-2|x-m|}={\log }_{x^2+2x+3}(2|x-m|+2)\\ & \iff {\displaystyle \frac{3^{x^2+2x+3}}{3^{2|x-m|+2}}}={\displaystyle \frac{\ln (2|x-m|+2)}{\ln (x^2+2x+3)}}\\ & \iff \ln (x^2+2x+3){.3}^{x^2+2x+3}=\ln (2|x-m|+2){.3}^{2|x-m|+2}\end{array}$
Xét $f\left(t\right)=\ln \left(t\right){.3}^t,\mathrm{\forall }t\ge 2$
$f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{t}}{3}^t+\ln \left(t\right)3^t\ln \left(3\right)>0,\mathrm{\forall }t\ge 2$
Vậy hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến.
$\begin{array}{rl}& f(x^2+2x+3)=f(2|x-m|+2)\\ & \iff x^2+2x+3=2|x-m|+2\\ & \iff x^2+2x+1=2|x-m|\\ & \iff [\begin{array}{rl}& x^2=-1-2m\left(1\right)\\ & x^2+4x=-1+2m\left(2\right)\end{array}\end{array}$
Điều kiện cần để phương trình có 3 nghiệm là:
Th1: $\left(1\right)$ có nghiệm kép $\Rightarrow m={\displaystyle \frac{-1}{2}}$ thử lại ta thấy thỏa mãn
Th2: $\left(2\right)$ có nghiệm kép $\Rightarrow m={\displaystyle \frac{-3}{2}}$ thử lại ta thấy thỏa mãn
Th3: $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ có nghiệm chung $\Rightarrow x=m$.Thế $\left(1\right)$ vào ta có $m=-1$
Ta có ${\displaystyle \frac{-1}{2}}+{\displaystyle \frac{-3}{2}}+(-1)=-3$.