Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $3^{x^2+2 x+1-2|x-m|}=\log _{x^2+2 x+3}(2|x-m|+2)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. -3 .
B. 2.
C. 3.
D. -2 .
A. -3 .
B. 2.
C. 3.
D. -2 .
Ta có $3^{x^2+2 x+1-2|x-m|}=\log _{x^2+2 x+3}(2|x-m|+2)$
$\Leftrightarrow \dfrac{3^{x^2+2 x+3}}{3^{2|x-m|+2}}=\dfrac{\ln (2|x-m|+2)}{\ln \left(x^2+2 x+3\right)}$
$\Leftrightarrow \ln \left(x^2+2 x+3\right) \cdot 3^{x^2+2 x+3}=\ln (2|x-m|+2) \cdot 3^{2|x-m|+2}$
Xét $f(t)=\ln (t) \cdot 3^t, \forall t \geq 2$
Ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t} 3^t+\ln (t) 3^t \ln (3)>0, \forall t \geq 2$.
Mà hàm số $f(t)$ liên tục trên $[2 ;+\infty)$.
Suy ra, hàm số $f(t)$ đồng biến trên $[2 ;+\infty)$.
Lại có $f\left(x^2+2 x+3\right)=f(2|x-m|+2) \Leftrightarrow x^2+2 x+3=2|x-m|+2$
$\Leftrightarrow x^2+2 x+1=2|x-m| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2=-1-2 m \\ x^2+4 x=-1+2 m\end{array}\right.$
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi:
TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng nhau $\Rightarrow m=\dfrac{-1}{2}$.
TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không trùng nhau $\Rightarrow m=\dfrac{-3}{2}$.
TH3: Phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt và có một nghiệm chung $\Rightarrow m=-1$. Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ là $\dfrac{-1}{2}+\dfrac{-3}{2}+(-1)=-3$.
Bình luận: Bài toán là sư giao thoa giũa phưong pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số vói biện luận nghiẹm.
$\Leftrightarrow \dfrac{3^{x^2+2 x+3}}{3^{2|x-m|+2}}=\dfrac{\ln (2|x-m|+2)}{\ln \left(x^2+2 x+3\right)}$
$\Leftrightarrow \ln \left(x^2+2 x+3\right) \cdot 3^{x^2+2 x+3}=\ln (2|x-m|+2) \cdot 3^{2|x-m|+2}$
Xét $f(t)=\ln (t) \cdot 3^t, \forall t \geq 2$
Ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t} 3^t+\ln (t) 3^t \ln (3)>0, \forall t \geq 2$.
Mà hàm số $f(t)$ liên tục trên $[2 ;+\infty)$.
Suy ra, hàm số $f(t)$ đồng biến trên $[2 ;+\infty)$.
Lại có $f\left(x^2+2 x+3\right)=f(2|x-m|+2) \Leftrightarrow x^2+2 x+3=2|x-m|+2$
$\Leftrightarrow x^2+2 x+1=2|x-m| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^2=-1-2 m \\ x^2+4 x=-1+2 m\end{array}\right.$
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi:
TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng nhau $\Rightarrow m=\dfrac{-1}{2}$.
TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không trùng nhau $\Rightarrow m=\dfrac{-3}{2}$.
TH3: Phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt và có một nghiệm chung $\Rightarrow m=-1$. Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ là $\dfrac{-1}{2}+\dfrac{-3}{2}+(-1)=-3$.
Bình luận: Bài toán là sư giao thoa giũa phưong pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số vói biện luận nghiẹm.
Đáp án A.