Google
Câu hỏi: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}$ bằng bao nhiêu, biết rằng x, y, z là các số thực thỏa mãn ${{\log }_{16}}\left( \dfrac{x+y+z}{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1} \right)=x\left( x-2 \right)+y\left( y-2 \right)+z\left( z-2 \right)$.
A. $-\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $-\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
A. $-\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{2}{3}$.
C. $-\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Ta có: ${{\log }_{16}}\left( \dfrac{x+y+z}{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1} \right)=x\left( x-2 \right)+y\left( y-2 \right)+z\left( z-2 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{16}}\left( x+y+z \right)+2\left( x+y+z \right)={{\log }_{16}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}4\left( x+y+z \right)+4\left( x+y+z \right)={{\log }_{4}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{4}}t+t\left( t>0 \right)$.
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Suy ra: $f\left( 4\left( x+y+z \right) \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)$
$\Rightarrow 4\left( x+y+z \right)=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+\dfrac{1}{2}=0\left( S \right)$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tọa độ tâm và bán kính là: $I\left( 1;1;1 \right),R=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Ta có: $F=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}\Leftrightarrow \left( F-1 \right)x+\left( F-1 \right)y+\left( F+1 \right)z=0\left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có điểm chung điều kiện cần và đủ là
$d\left( I,\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| F-1+F-1+F+1 \right|}{\sqrt{2{{\left( F-1 \right)}^{2}}+{{\left( F+1 \right)}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}$
$\Leftrightarrow 3{{F}^{2}}-2F-13\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1-2\sqrt{10}}{3}\le F\le \dfrac{1+2\sqrt{10}}{3}$.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}$ bằng $\dfrac{2}{3}$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{16}}\left( x+y+z \right)+2\left( x+y+z \right)={{\log }_{16}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{4}}4\left( x+y+z \right)+4\left( x+y+z \right)={{\log }_{4}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{4}}t+t\left( t>0 \right)$.
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Suy ra: $f\left( 4\left( x+y+z \right) \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1 \right)$
$\Rightarrow 4\left( x+y+z \right)=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+\dfrac{1}{2}=0\left( S \right)$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tọa độ tâm và bán kính là: $I\left( 1;1;1 \right),R=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
Ta có: $F=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}\Leftrightarrow \left( F-1 \right)x+\left( F-1 \right)y+\left( F+1 \right)z=0\left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có điểm chung điều kiện cần và đủ là
$d\left( I,\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| F-1+F-1+F+1 \right|}{\sqrt{2{{\left( F-1 \right)}^{2}}+{{\left( F+1 \right)}^{2}}}}\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}$
$\Leftrightarrow 3{{F}^{2}}-2F-13\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1-2\sqrt{10}}{3}\le F\le \dfrac{1+2\sqrt{10}}{3}$.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F=\dfrac{x+y-z}{x+y+z}$ bằng $\dfrac{2}{3}$.
Đáp án B.