Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức...

Ta có: ${\log }_{16}\left({\displaystyle \frac{x+y+z}{2x^2+2y^2+2z^2+1}}\right)=x(x-2)+y(y-2)+z(z-2)$
$\iff {\log }_{16}(x+y+z)+2(x+y+z)={\log }_{16}(2x^2+2y^2+2z^2+1)+(2x^2+2y^2+2z^2+1)$
$\iff {\log }_{4}4(x+y+z)+4(x+y+z)={\log }_4(2x^2+2y^2+2z^2+1)+(2x^2+2y^2+2z^2+1)$
Xét hàm số: $f\left(t\right)={\log }_{4}t+t(t>0)$.
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Suy ra: $f\left(4(x+y+z)\right)=f(2x^2+2y^2+2z^2+1)$
$\Rightarrow 4(x+y+z)=2x^2+2y^2+2z^2+1\iff x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\left(S\right)$.
Ta có mặt cầu $\left(S\right)$ có tọa độ tâm và bán kính là: $I(1;1;1),R={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$.
Ta có: $F={\displaystyle \frac{x+y-z}{x+y+z}}\iff (F-1)x+(F-1)y+(F+1)z=0\left(P\right)$.
Mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$ có điểm chung điều kiện cần và đủ là
$d(I,\left(P\right))\le R\iff {\displaystyle \frac{|F-1+F-1+F+1|}{\sqrt{2{(F-1)}^2+{(F+1)}^2}}}\le {\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$
$\iff 3F^2-2F-13\le 0\iff {\displaystyle \frac{1-2\sqrt{10}}{3}}\le F\le {\displaystyle \frac{1+2\sqrt{10}}{3}}$.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F={\displaystyle \frac{x+y-z}{x+y+z}}$ bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.