Tổng các nghiệm phương trình ${{\log...

Phương trình: ${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{{{x}^{2}}+2x+2}={{x}^{2}}+3x+1+2{{\log }_{9}}2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{{{x}^{2}}+2x+2}-{{\log }_{3}}2=\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+x+3}{2{{x}^{2}}+4x+4}=\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$, $t>0$ thì ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 3}+1>0$, $\forall t>0$.
Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến với mọi $t>0$, nên phương trình $f\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3=2{{x}^{2}}+4x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+1=0$.
Phương trình có 2 nghiệm $x=\dfrac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình có giá trị là $-3$.