Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 100 của bất phương trình...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 100 của bất phương trình

{[\log_{2} x + \log_{\frac{1}{4}} (x + 3)]}^{x - 4} \geq 1

bằng
A. 4944
B. 4947
C. 4939
D. 4933

Điều kiện

x > 0

\begin{aligned} B P T \Leftrightarrow (x - 4) \log_{2} [\log_{2} x - \log_{2} \sqrt{x + 3}] \geq \log_{2} 1 \\ \Leftrightarrow (x - 4) \log_{2} (\log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}}) \geq 0 (*) \end{aligned}

- Nếu

x = 4

thì (*) được nghiệm đúng nên

x = 4

là 1 nghiệm của bất phương trình
- Nếu

x > 4

thì (*)

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - & x > 4 \\ - & \log_{2} \log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \geq 0 \\ - \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} - & x > 4 \\ - & \log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \geq 1 \\ - \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} - & x > 4 \\ - & \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \geq 2 \\ - \end{aligned} \Leftrightarrow x \geq 6

- Nếu

x < 4

thì (*)

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - & x < 4 \\ - & \log_{2} (\log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}}) \leq 0 \\ - \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} - & x < 4 \\ - & 0 < \log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \leq 1 \\ - \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x < 4 \\ 1 < \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \leq 2 \end{aligned} \Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{13}}{2} < x \leq 4

. Vậy nghiệm của (*) là

\frac{1 + \sqrt{13}}{2} < x \leq 4

hoặc

x \geq 6

Đáp án A.