Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 100 của bất phương trình...

Điều kiện $x>0$
$\begin{aligned}
& BPT\Leftrightarrow \left( x-4 \right){{\log }_{2}}\left[ {{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}\sqrt{x+3} \right]\ge {{\log }_{2}}1 \\
& \Leftrightarrow \left( x-4 \right){{\log }_{2}}\left( {{\log }_{2}}\dfrac{x}{\sqrt{x+3}} \right)\ge 0\left( * \right) \\
\end{aligned}$
- Nếu $x=4$ thì (*) được nghiệm đúng nên $x=4$ là 1 nghiệm của bất phương trình
- Nếu $x>4$ thì (*) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
- & x>4 \\
- & {{\log }_{2}}{{\log }_{2}}\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 0 \\
- \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
- & x>4 \\
- & {{\log }_{2}}\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 1 \\
- \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
- & x>4 \\
- & \dfrac{x}{\sqrt{x+3}}\ge 2 \\
- \end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 6$
- Nếu $x<4$ thì (*) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
- & x<4 \\
- & {{\log }_{2}}\left( {{\log }_{2}}\dfrac{x}{\sqrt{x+3}} \right)\le 0 \\
- \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
- & x<4 \\
- & 0<{{\log }_{2}}\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}\le 1 \\
- \end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& 1<\dfrac{x}{\sqrt{x+3}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}<x\le 4 $. Vậy nghiệm của (*) là $ \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}<x\le 4 $ hoặc $ x\ge 6$