Google
Câu hỏi: Tổng các nghiệm của phương trình $z.{{\left| z \right|}^{2}}+{{z}^{2}}+\overline{z}+1=0$ là:
A. 1
B. 1+2i
C. 0
D. $-1$
A. 1
B. 1+2i
C. 0
D. $-1$
Ta có: ${{\left| z \right|}^{2}}=z.\overline{z}.$ Do đó phương trình $\Leftrightarrow z.z.\overline{z}+{{z}^{2}}+\overline{z}+1=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}\left( \overline{z}+1 \right)+\overline{z}+1=0$
$\Leftrightarrow \left( {{z}^{2}}+1 \right)\left( \overline{z}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}^{2}}=-1={{i}^{2}} \\
& \overline{z}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=\pm i \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $-1.$
$\Leftrightarrow \left( {{z}^{2}}+1 \right)\left( \overline{z}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}^{2}}=-1={{i}^{2}} \\
& \overline{z}=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=\pm i \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $-1.$
Đáp án D.