Google
Câu hỏi: Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)-{{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}-4x+1\le 0$.
A. $4$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $3$.
Điều kiện: $x>0$.
Ta có
${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)-{{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}-4x+1\le 0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)+{{x}^{2}}+3\le {{\log }_{2}}4x+4x \left( * \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên $D=\left( 0; +\infty \right)$. Ta có
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0 \forall t\in D\Rightarrow $ hàm số $f$ đồng biến trên $D$.
Suy ra
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+3 \right)\le f\left( 4x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3\le 4x\Leftrightarrow 1\le x\le 3$.
Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{ 1; 2; 3 \right\}$.
Ta có
${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)-{{\log }_{2}}x+{{x}^{2}}-4x+1\le 0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)+{{x}^{2}}+3\le {{\log }_{2}}4x+4x \left( * \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên $D=\left( 0; +\infty \right)$. Ta có
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0 \forall t\in D\Rightarrow $ hàm số $f$ đồng biến trên $D$.
Suy ra
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+3 \right)\le f\left( 4x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3\le 4x\Leftrightarrow 1\le x\le 3$.
Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là $\left\{ 1; 2; 3 \right\}$.
Đáp án B.