Google
Câu hỏi: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx-8}{x-m}$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
A. $4\sqrt{10}$.
B. $2\sqrt{10}$.
C. $2$.
D. $0$.
A. $4\sqrt{10}$.
B. $2\sqrt{10}$.
C. $2$.
D. $0$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và trục hoành là: $\dfrac{{{x}^{2}}+mx-8}{x-m}=0$.
Điều kiện: $x\ne m$.
Ta có: $\dfrac{{{x}^{2}}+mx-8}{x-m}=0 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx-8=0 \left( 1 \right)$.
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 2{{m}^{2}}-8\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+32>0 \\
& m\ne \pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ne \pm 2$.
Ta có $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx-8}{x-m}=\dfrac{u}{v}\Rightarrow y'=\dfrac{u'v-v'u}{{{v}^{2}}}=\dfrac{u'}{v}-\dfrac{u}{v}.\dfrac{v'}{v}$.
Nếu đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là ${{x}_{0}}$ thì
$y\left( {{x}_{0}} \right)=0\Rightarrow \dfrac{u\left( {{x}_{0}} \right)}{v\left( {{x}_{0}} \right)}=0\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{u'\left( {{x}_{0}} \right)}{v\left( {{x}_{0}} \right)}=\dfrac{2{{x}_{0}}+m}{{{x}_{0}}-m}$.
Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$.
Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là ${{k}_{1}}=y'\left( {{x}_{1}} \right)=\dfrac{2{{x}_{1}}+m}{{{x}_{1}}-m}; {{k}_{2}}=y'\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{2{{x}_{2}}+m}{{{x}_{2}}-m}$.
Các tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau $\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow \dfrac{2{{x}_{1}}+m}{{{x}_{1}}-m}.\dfrac{2{{x}_{2}}+m}{{{x}_{2}}-m}=-1\Leftrightarrow \dfrac{4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}-m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}}=-1 \\
& \Leftrightarrow 4.\left( -8 \right)+2m.\left( -m \right)+{{m}^{2}}=8+m\left( -m \right)-{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=40\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{10} \left( th \right). \\
\end{aligned}$
Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ là 0.
Điều kiện: $x\ne m$.
Ta có: $\dfrac{{{x}^{2}}+mx-8}{x-m}=0 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx-8=0 \left( 1 \right)$.
Để đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 2{{m}^{2}}-8\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+32>0 \\
& m\ne \pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ne \pm 2$.
Ta có $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx-8}{x-m}=\dfrac{u}{v}\Rightarrow y'=\dfrac{u'v-v'u}{{{v}^{2}}}=\dfrac{u'}{v}-\dfrac{u}{v}.\dfrac{v'}{v}$.
Nếu đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là ${{x}_{0}}$ thì
$y\left( {{x}_{0}} \right)=0\Rightarrow \dfrac{u\left( {{x}_{0}} \right)}{v\left( {{x}_{0}} \right)}=0\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{u'\left( {{x}_{0}} \right)}{v\left( {{x}_{0}} \right)}=\dfrac{2{{x}_{0}}+m}{{{x}_{0}}-m}$.
Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$.
Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là ${{k}_{1}}=y'\left( {{x}_{1}} \right)=\dfrac{2{{x}_{1}}+m}{{{x}_{1}}-m}; {{k}_{2}}=y'\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{2{{x}_{2}}+m}{{{x}_{2}}-m}$.
Các tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau $\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow \dfrac{2{{x}_{1}}+m}{{{x}_{1}}-m}.\dfrac{2{{x}_{2}}+m}{{{x}_{2}}-m}=-1\Leftrightarrow \dfrac{4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}-m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}}=-1 \\
& \Leftrightarrow 4.\left( -8 \right)+2m.\left( -m \right)+{{m}^{2}}=8+m\left( -m \right)-{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=40\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{10} \left( th \right). \\
\end{aligned}$
Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ là 0.
Đáp án D.