Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left(...

Ta có:
+) TXĐ: $D=\mathbb{R}$
+) ${{y}^{'}}=2m-3+\left( 3m+1 \right)\sin x$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ khi $y'\le 0, \forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow 2m-3+\left( 3m+1 \right)\sin x\le 0$ $, \forall x\in \left( -\infty ;+\infty \right)$
TH1: $3m+1=0\Rightarrow m=\dfrac{-1}{3}$ $\Rightarrow {{y}^{'}}=\dfrac{-11}{3}<0,\forall x$
Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
TH2: $3m+1>0\Rightarrow m>\dfrac{-1}{3}$. Ta có:
$\begin{aligned}
& 2m-3+\left( 3m+1 \right)\sin x\le 0 \\
& \Leftrightarrow \left( 3m+1 \right)\sin x\le 3-2m \\
& \Leftrightarrow \sin x\le \dfrac{3-2m}{3m+1} \\
\end{aligned}$
Do $\sin x\le 1$ nên $\dfrac{3-2m}{3m+1}\ge 1$ $\Leftrightarrow 3-2m\ge 3m+1$ $\Leftrightarrow 5m\le 2\Leftrightarrow m\le \dfrac{2}{5}$
Suy ra $\dfrac{-1}{3}<m\le \dfrac{2}{5}$ ; $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0$
TH3: $3m+1<0\Rightarrow m<\dfrac{-1}{3}$. Ta có:
$\begin{aligned}
& 2m-3+\left( 3m+1 \right)\sin x\le 0 \\
& \Leftrightarrow \left( 3m+1 \right)\sin x\le 3-2m \\
& \Leftrightarrow \sin x\ge \dfrac{3-2m}{3m+1} \\
\end{aligned}$
Do $\sin x\ge -1$ nên $\dfrac{3-2m}{3m+1}\le -1$ $\Leftrightarrow 3-2m\ge -3m-1$ $\Leftrightarrow m\ge -4$
Suy ra $-4\le m<\dfrac{-1}{3}$ ; $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$
Vậy tổng các giá trị của m bằng: $(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0=-10$