Google
Câu hỏi: Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+({{m}^{2}}-m+2){{x}^{2}}+(3{{m}^{2}}+1)x-1$ đạt cực tiểu tại $x=-2$.
A. không tồn tại m.
B. $10$.
C. $1$.
D. $9$.
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)x+3{{m}^{2}}+1;{{y}'}'=2x+2\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)$
Hàm số bậc ba đạt cực tiểu tại $x=-2$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( -2 \right)=0 \\
& {{y}'}'\left( -2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4-4\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)+3{{m}^{2}}+1=0 \\
& -4+2\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{m}^{2}}+4m-3=0 \\
& {{m}^{2}}-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=3$.
A. không tồn tại m.
B. $10$.
C. $1$.
D. $9$.
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)x+3{{m}^{2}}+1;{{y}'}'=2x+2\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)$
Hàm số bậc ba đạt cực tiểu tại $x=-2$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( -2 \right)=0 \\
& {{y}'}'\left( -2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4-4\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)+3{{m}^{2}}+1=0 \\
& -4+2\left( {{m}^{2}}-m+2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{m}^{2}}+4m-3=0 \\
& {{m}^{2}}-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=3$.
Đáp án D.