Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường...

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3+m{x}^2+1=1-x\iff x^3+m{x}^2+x=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x^2+mx+1=0\end{array}$.
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\iff \{\begin{array}{rl}& m^2-4>0\\ & 1\ne 0\left(ld\right)\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m>2\\ & m<-2\end{array}$.
Suy ra: $A(0;1)B(x_1;1-x_1)C(x_2;1-x_2)$.
Theo hệ thức vi ét ta có: $\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-m\\ & x_1{x}_2=1\end{array}$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $B$ là $f^{\prime }\left(x_1\right)=3{x_1}^2+2m{x}_1$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $C$ là $f^{\prime }\left(x_2\right)=3{x_2}^2+2m{x}_2$.
Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau
$\iff f^{\prime }\left(x_1\right).f^{\prime }\left(x_2\right)=-1$
$\iff (3{x_1}^2+2m{x}_1).(3{x_2}^2+2m{x}_2)=-1$
$\begin{array}{rl}& \iff 9{\left(x_1{x}_2\right)}^2+6m.x_1{x}_2(x_1+x_2)+4m^2\left(x_1{x}_2\right)=-1\\ & \iff 9+6m(-m)+4m^2=-1\\ & \iff -2m^2=-10\iff m^2=5\iff m=\pm \sqrt{5}\end{array}$.
Vậy ${\left(\sqrt{5}\right)}^2+{(-\sqrt{5})}^2=10$.