Tính tổng bình phương tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường...

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
${{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+1=1-x\Leftrightarrow {{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}+mx+1=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-4>0 \\
& 1\ne 0\left( ld \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra: $A\left( 0; 1 \right) B\left( {{x}_{1}} ; 1-{{x}_{1}} \right) C\left( {{x}_{2}} ; 1-{{x}_{2}} \right)$.
Theo hệ thức vi ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $B$ là ${f}'\left( {{x}_{1}} \right)=3{{x}_{1}}^{2}+2m{{x}_{1}}$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $C$ là ${f}'\left( {{x}_{2}} \right)=3{{x}_{2}}^{2}+2m{{x}_{2}}$.
Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau
$\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}_{1}} \right).{f}'\left( {{x}_{2}} \right)=-1$
$\Leftrightarrow \left( 3{{x}_{1}}^{2}+2m{{x}_{1}} \right).\left( 3{{x}_{2}}^{2}+2m{{x}_{2}} \right)=-1$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 9{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}+6m.{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{m}^{2}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=-1 \\
& \Leftrightarrow 9+6m\left( -m \right)+4{{m}^{2}}=-1 \\
& \Leftrightarrow -2{{m}^{2}}=-10\Leftrightarrow {{m}^{2}}=5\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{5} \\
\end{aligned}$.
Vậy ${{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{5} \right)}^{2}}=10$.