Google
Câu hỏi: Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\left( x+\dfrac{1}{2x} \right)}}=5$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $0$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $0$.
Điều kiện: $x>0$.
PT: $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)}}=5 \left( 1 \right)$.
Đặt $t=\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\dfrac{1}{2x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{1}{2x}}=\sqrt{2}$
PT trở thành ${{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5\text{ (2)}$.
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{2}^{t}} \left( t\ge \sqrt{2} \right)$ là hàm đồng biến nên:
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t=2$ (t/m).
Với $t=2$ thì $\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0$ (t/m). Vậy ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}$ (theo Viet).
PT: $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)}}=5 \left( 1 \right)$.
Đặt $t=\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\dfrac{1}{2x}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{1}{2x}}=\sqrt{2}$
PT trở thành ${{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5\text{ (2)}$.
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{2}^{t}} \left( t\ge \sqrt{2} \right)$ là hàm đồng biến nên:
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t=2$ (t/m).
Với $t=2$ thì $\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0$ (t/m). Vậy ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}$ (theo Viet).
Đáp án A.