Google
Câu hỏi: Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình $\log _2\left(\dfrac{2 x^2+1}{2 x}\right)+2^{\left(x+\dfrac{1}{2 x}\right)}=5$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Điều kiện $x>0$
Đặt $t=x+\dfrac{1}{2 x},(t \geq \sqrt{2})$.
Phương trình trở thành: $\log _2 t+2^t=5$ (1)
Xét $f(t)=\log _2 t+2^t$ với $t \geq \sqrt{2}$.
Ta có $f(2)=5$ nên $x=2$ là một nghiệm của phương trình (1).
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 2}+2^t \ln 2>0, \forall t \geq \sqrt{2}$
$\Rightarrow f(t)$ luôn đồng biến trên khoảng $(\sqrt{2} ;+\infty)$
$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y=f(t)$ cắt đường thẳng $y=5$ nhiều nhất tại 1 điểm.
Vậy $t=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Với $t=2: x+\dfrac{1}{2 x}=2 \Leftrightarrow 2 x^2-4 x+1=0$ (2).
Phương trình (2) có hai nghiệm phân bệt và tích tất cả các nghiệm thực của phương trình là $\dfrac{1}{2}$.
Đặt $t=x+\dfrac{1}{2 x},(t \geq \sqrt{2})$.
Phương trình trở thành: $\log _2 t+2^t=5$ (1)
Xét $f(t)=\log _2 t+2^t$ với $t \geq \sqrt{2}$.
Ta có $f(2)=5$ nên $x=2$ là một nghiệm của phương trình (1).
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 2}+2^t \ln 2>0, \forall t \geq \sqrt{2}$
$\Rightarrow f(t)$ luôn đồng biến trên khoảng $(\sqrt{2} ;+\infty)$
$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y=f(t)$ cắt đường thẳng $y=5$ nhiều nhất tại 1 điểm.
Vậy $t=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Với $t=2: x+\dfrac{1}{2 x}=2 \Leftrightarrow 2 x^2-4 x+1=0$ (2).
Phương trình (2) có hai nghiệm phân bệt và tích tất cả các nghiệm thực của phương trình là $\dfrac{1}{2}$.
Đáp án A.