Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${\log...

Điều kiện $x>0$.
Ta có ${\log _{2}\left(\dfrac{2 x^{2}+1}{x}\right)+2^{x+\dfrac{1}{2 x}}=6}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{x} \right)+{{2}^{x+\dfrac{1}{2x}}}-1=5$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}}}=5$.
Đặt $t=\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}$, ta được phương trình ${{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}$ với $t>0$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+{{2}^{t}}.\ln 2>0,\forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Mà $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t=2$.
Suy ra $\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+1=4x\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pm \sqrt{2}}{2}$.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là $\left( \dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \right).\left( \dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \right)=\dfrac{1}{2}$.