Google
Câu hỏi: Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{5}{\dfrac{dx}{x\sqrt{3x+1}}}$ ta được kết quả $I=a\ln 3+b\ln 5$.Giá trị $S={{a}^{2}}+ab+3{{b}^{2}}$ là
A. 0
B. 4
C. 1
D. 5
A. 0
B. 4
C. 1
D. 5
Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=3x+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2tdt=3dx \\
& x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3} \\
\end{aligned} \right. $. Với $ x=1\Rightarrow t=2;x=5\Rightarrow t=4$
ta có $I=\int\limits_{1}^{5}{\dfrac{dx}{x\sqrt{3x+1}}}=\int\limits_{2}^{4}{\dfrac{\dfrac{2tdt}{3}}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3}.t}}=\int\limits_{2}^{4}{\dfrac{2dt}{{{t}^{2}}-1}=\left. \ln \left| \dfrac{t-1}{t+1} \right| \right|}_{2}^{4}=\ln \dfrac{3}{5}-\ln \dfrac{1}{3}=2\ln 3-\ln 5$
Do đó suy ra $a=2,b=-1\Rightarrow S={{a}^{2}}+ab+3{{b}^{2}}=5$.
& 2tdt=3dx \\
& x=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3} \\
\end{aligned} \right. $. Với $ x=1\Rightarrow t=2;x=5\Rightarrow t=4$
ta có $I=\int\limits_{1}^{5}{\dfrac{dx}{x\sqrt{3x+1}}}=\int\limits_{2}^{4}{\dfrac{\dfrac{2tdt}{3}}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3}.t}}=\int\limits_{2}^{4}{\dfrac{2dt}{{{t}^{2}}-1}=\left. \ln \left| \dfrac{t-1}{t+1} \right| \right|}_{2}^{4}=\ln \dfrac{3}{5}-\ln \dfrac{1}{3}=2\ln 3-\ln 5$
Do đó suy ra $a=2,b=-1\Rightarrow S={{a}^{2}}+ab+3{{b}^{2}}=5$.
Đáp án D.