Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng...

Điều kiện: $\ln x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$
Ta có: $x\sqrt{\ln x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right. $. Vì điều kiện $ x\ge 1 $ nên nhận $ x=1$.
Từ đó: $V=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{\left( x\sqrt{\ln x} \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}\ln xdx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv={{x}^{2}}dx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x}dx \\
& v=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $V=\left. \left( \dfrac{1}{3}\pi {{x}^{3}}\ln 3 \right) \right|_{1}^{e}-\dfrac{1}{3}\pi \int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}dx=\dfrac{1}{3}\pi {{e}^{3}}-\left. \left( \dfrac{1}{9}\pi {{x}^{3}} \right) \right|}_{1}^{e}=\dfrac{1}{3}\pi {{e}^{3}}-\left( \dfrac{1}{9}\pi {{e}^{3}}-\dfrac{1}{9}\pi \right)$
$=\dfrac{1}{9}\pi +\dfrac{2}{9}\pi {{e}^{3}}=\dfrac{2{{e}^{3}}+1}{9}\pi $. Vậy $V=\dfrac{2{{e}^{3}}+1}{9}\pi $.