Google
Câu hỏi: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DB.
A. $\dfrac{9\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
A. $\dfrac{9\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Ta có $DE=AE\cdot \sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2}$ ; $AD=\sqrt{A{{E}^{2}}-D{{E}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ;
$BC=AC\cdot \sin 30{}^\circ =a$ ; $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DB, vật thể tròn xoay được tạo thành gồm hai khối nón.
+ Khối nón thứ nhất có đỉnh A, chiều cao $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, bán kính của đáy là $DE=\dfrac{a}{2}$.
Thể tích của khối nón thứ nhất: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
+ Khối nón thứ hai có đỉnh A, chiều cao $AB=a\sqrt{3}$, bán kính của đáy $BC=a$.
Thể tích của khối nón thứ hai: ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{a}^{2}}\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Lưu ý: Ngoài ra có thể tính ${{V}_{2}}={{\left( 2 \right)}^{3}}\cdot {{V}_{1}}$.
$BC=AC\cdot \sin 30{}^\circ =a$ ; $AB=\sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DB, vật thể tròn xoay được tạo thành gồm hai khối nón.
+ Khối nón thứ nhất có đỉnh A, chiều cao $AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, bán kính của đáy là $DE=\dfrac{a}{2}$.
Thể tích của khối nón thứ nhất: ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
+ Khối nón thứ hai có đỉnh A, chiều cao $AB=a\sqrt{3}$, bán kính của đáy $BC=a$.
Thể tích của khối nón thứ hai: ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{a}^{2}}\cdot a\sqrt{3}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Lưu ý: Ngoài ra có thể tính ${{V}_{2}}={{\left( 2 \right)}^{3}}\cdot {{V}_{1}}$.
Đáp án B.