Google
Câu hỏi: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,x=\pi $. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x\left( 0\le x\le \pi \right)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
A. $\dfrac{7\pi }{6}+2.$
B. $\dfrac{7\pi }{6}+1.$
C. $\dfrac{9\pi }{8}+2.$
D. $\dfrac{9\pi }{8}+1.$
A. $\dfrac{7\pi }{6}+2.$
B. $\dfrac{7\pi }{6}+1.$
C. $\dfrac{9\pi }{8}+2.$
D. $\dfrac{9\pi }{8}+1.$
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sin x+2$ có cạnh góc vuông bằng $\dfrac{\sin x+2}{\sqrt{2}}$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{\sin x+2}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{\pi }{\left( {{\sin }^{2}}x+4\sin x+4 \right)dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \dfrac{1-\cos 2x}{2}+4\sin x+4 \right)dx} \\
& \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sin 2x}{4}-4\cos x+4x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{\pi } \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{2}\pi +4+4\pi +4 \right)=\dfrac{9\pi }{8}+2. \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow S\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{\sin x+2}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( \sin x+2 \right)}^{2}}dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{\pi }{\left( {{\sin }^{2}}x+4\sin x+4 \right)dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{\pi }{\left( \dfrac{1-\cos 2x}{2}+4\sin x+4 \right)dx} \\
& \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{2}x-\dfrac{\sin 2x}{4}-4\cos x+4x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{\pi } \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{1}{2}\pi +4+4\pi +4 \right)=\dfrac{9\pi }{8}+2. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.