Google
Câu hỏi: Tính giá trị của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1$, biết rằng ${{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}={{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]$ với $x\ne 0; -1\le y\le \dfrac{13}{2}$.
A. $P=4$
B. $P=2$
C. $P=1$
D. $P=3$
A. $P=4$
B. $P=2$
C. $P=1$
D. $P=3$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-1=1\Rightarrow {{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}\ge 4 \\
& 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}\le 16\Rightarrow {{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]\le 4 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, giả thiết ${{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}={{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy giá trị biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1=2$.
& {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-1=1\Rightarrow {{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}\ge 4 \\
& 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}\le 16\Rightarrow {{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]\le 4 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, giả thiết ${{4}^{{{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-1}}={{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy giá trị biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1=2$.
Đáp án B.