Google
Câu hỏi: Biết rằng ${{2}^{x+\dfrac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]$ trong đó $x>0$. Tính giá trị biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có $x+\dfrac{1}{x}\ge 2\Rightarrow {{2}^{x+\dfrac{1}{x}}}\ge 4\text{ }\left( 1 \right)$.
Ta thấy $14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}=-{{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+3\sqrt{y+1}+14$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+3t+14\left( t=\sqrt{y+1}\ge 0 \right)$
Bảng biến thiên:
Do vậy ta được ${{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]\le 4\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=2$.
Ta thấy $14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}=-{{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+3\sqrt{y+1}+14$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{3}}+3t+14\left( t=\sqrt{y+1}\ge 0 \right)$
Bảng biến thiên:
Do vậy ta được ${{\log }_{2}}\left[ 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right]\le 4\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $P=2$.
Đáp án B.