Google
Câu hỏi: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\left( x+1 \right)\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x=e$.
A. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+5}{4}.$
B. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+7}{6}.$
C. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+3}{2}.$
D. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+9}{8}.$
A. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+5}{4}.$
B. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+7}{6}.$
C. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+3}{2}.$
D. $S=\dfrac{{{e}^{2}}+9}{8}.$
Phương trình hoành độ giao điểm: $\left( x+1 \right)\ln x=0$ (điều kiện: $x>0)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& \ln x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \text{(loai)} \\
& x=1 (\text{thoa man)} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\int\limits_{1}^{0}{\left| \left( x+1 \right)\ln x \right|dx}=\int\limits_{1}^{0}{\left( x+1 \right)\ln xdx}$
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=\left( x+1 \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x}dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)\dfrac{1}{x}dx} \\
& =\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+e-\int\limits_{1}^{e}{\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)dx}=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+e-\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+x \right) \right|_{1}^{e}=\dfrac{{{e}^{2}}+5}{4}. \\
\end{aligned}$
Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tính trực tiếp $S=\int\limits_{1}^{e}{\left| \left( x+1 \right)\ln x \right|}dx$ và so sánh đáp án để lựa chọn đáp án đúng.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& \ln x=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \text{(loai)} \\
& x=1 (\text{thoa man)} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\int\limits_{1}^{0}{\left| \left( x+1 \right)\ln x \right|dx}=\int\limits_{1}^{0}{\left( x+1 \right)\ln xdx}$
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dv=\left( x+1 \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x}dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& S=\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+x \right)\dfrac{1}{x}dx} \\
& =\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+e-\int\limits_{1}^{e}{\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)dx}=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+e-\left. \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+x \right) \right|_{1}^{e}=\dfrac{{{e}^{2}}+5}{4}. \\
\end{aligned}$
Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính để tính trực tiếp $S=\int\limits_{1}^{e}{\left| \left( x+1 \right)\ln x \right|}dx$ và so sánh đáp án để lựa chọn đáp án đúng.
Đáp án A.