Google
Câu hỏi: Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}$ với đường thẳng $x=1;x=-1$ và trục Ox.
A. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)}^{2}}$
B. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+2}{2e} \right)}^{2}}$
C. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{e} \right)}^{2}}$
D. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}-1}{2e} \right)}^{2}}$
Giao điểm của đồ thị $y=\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}$
với trục Ox là các điểm có hoành
độ thỏa mãn phương trình:
$\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}={{e}^{-x}}\Rightarrow x=0$
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi 4 đường trên là:
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| \dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}} \right|dx}=-\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}$
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{t-\dfrac{1}{t}}{t+\dfrac{1}{t}}\dfrac{dt}{t}}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2{{t}^{2}}-\left( {{t}^{2}}+1 \right)}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}$
$=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2{{t}^{2}}}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}-\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2t}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{1}{t}dt}=\left. \ln \left| {{t}^{2}}+1 \right| \right|{}_{1}^{e}-\left. \ln \left| t \right| \right|{}_{1}^{e}$
$=\left. \ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}+1}{t} \right| \right|{}_{1}^{e}=\ln \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e}$
Tương tự ta tính được $\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}=\ln \left( \dfrac{2e}{1+{{e}^{2}}} \right)$
Từ đó suy ra $S=\ln \left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)-\ln \left( \dfrac{2e}{{{e}^{2}}+1} \right)=\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)}^{2}}$
Vậy $S=\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)}^{2}}$.
A. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)}^{2}}$
B. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+2}{2e} \right)}^{2}}$
C. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{e} \right)}^{2}}$
D. $\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}-1}{2e} \right)}^{2}}$
Giao điểm của đồ thị $y=\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}$
với trục Ox là các điểm có hoành
độ thỏa mãn phương trình:
$\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}={{e}^{-x}}\Rightarrow x=0$
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi 4 đường trên là:
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| \dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}} \right|dx}=-\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}$
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{t-\dfrac{1}{t}}{t+\dfrac{1}{t}}\dfrac{dt}{t}}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2{{t}^{2}}-\left( {{t}^{2}}+1 \right)}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}$
$=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2{{t}^{2}}}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}-\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}dt}=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{2t}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{1}{t}dt}=\left. \ln \left| {{t}^{2}}+1 \right| \right|{}_{1}^{e}-\left. \ln \left| t \right| \right|{}_{1}^{e}$
$=\left. \ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}+1}{t} \right| \right|{}_{1}^{e}=\ln \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e}$
Tương tự ta tính được $\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}=\ln \left( \dfrac{2e}{1+{{e}^{2}}} \right)$
Từ đó suy ra $S=\ln \left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)-\ln \left( \dfrac{2e}{{{e}^{2}}+1} \right)=\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)}^{2}}$
Vậy $S=\ln {{\left( \dfrac{{{e}^{2}}+1}{2e} \right)}^{2}}$.
Đáp án A.