Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số...

Giao điểm của đồ thị $y={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$
với trục Ox là các điểm có hoành
độ thỏa mãn phương trình:
${\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}=0\iff e^x=e^{-x}\Rightarrow x=0$
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi 4 đường trên là:
$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\right|dx=-\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}dx$
Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}dx=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{t-{\displaystyle \frac{1}{t}}}{t+{\displaystyle \frac{1}{t}}}}{\displaystyle \frac{dt}{t}}=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{t^2-1}{t(t^2+1)}}dt=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{2t^2-(t^2+1)}{t(t^2+1)}}dt$
$=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{2t^2}{t(t^2+1)}}dt-\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{t^2+1}{t(t^2+1)}}dt=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{2t}{t^2+1}}dt-\underset{1}{\overset{e}{\int }}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt=\ln |t^2+1||{}_1^e-\ln \left|t\right||{}_1^e$
$=\ln \left|{\displaystyle \frac{t^2+1}{t}}\right||{}_1^e=\ln {\displaystyle \frac{e^2+1}{2e}}$
Tương tự ta tính được $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}dx=\ln \left({\displaystyle \frac{2e}{1+e^2}}\right)$
Từ đó suy ra $S=\ln \left({\displaystyle \frac{e^2+1}{2e}}\right)-\ln \left({\displaystyle \frac{2e}{e^2+1}}\right)=\ln {\left({\displaystyle \frac{e^2+1}{2e}}\right)}^2$
Vậy $S=\ln {\left({\displaystyle \frac{e^2+1}{2e}}\right)}^2$.