Tìm trên đường thẳng $x=3$ điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất...

Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x$. Gọi $M\left( 3;m \right)$ là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ đi qua $M\left( 3;m \right)$ là $y=k\left( x-3 \right)+m$.
Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=k\left( x-3 \right)m \\
& 3{{x}^{2}}-6x=k \\
\end{aligned} \right.$.
Với $k=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $k\ne 0$ ta có ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)\left( x-3 \right)+m=3{{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+18x+m$
$\Rightarrow 2{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+18x+m-2=0\left( 1 \right)$
Phương trình (1) cần phải có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+18x+m-2,x\in \mathbb{R}$, ta có
${f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-24x+18;{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow f\left( x \right)=m+6 \\
& x=3\Rightarrow f\left( x \right)=m-2 \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình (1) có đúng 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left( m-2 \right)\left( m+6 \right)<0\Leftrightarrow -6<m<2\Rightarrow m=-5\Rightarrow M\left( 3;-5 \right)$.