Tìm trên đường thẳng $x=3$ điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất...

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$. Gọi $M(3;m)$ là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến $d$ của $\left(C\right)$ đi qua $M(3;m)$ là $y=k(x-3)+m$.
Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm $\{\begin{array}{rl}& x^3-3x^2+2=k(x-3)m\\ & 3x^2-6x=k\end{array}$.
Với $k=0\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& m=2\\ & m=-2\end{array}$.
Với $k\ne 0$ ta có $x^3-3x^2+2=(3x^2-6x)(x-3)+m=3x^3-15x^2+18x+m$
$\Rightarrow 2x^3-12x^2+18x+m-2=0\left(1\right)$
Phương trình (1) cần phải có 3 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^3-12x^2+18x+m-2,x\in \mathbb{R}$, ta có
$f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-24x+18;f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\Rightarrow f\left(x\right)=m+6\\ & x=3\Rightarrow f\left(x\right)=m-2\end{array}$
Phương trình (1) có đúng 3 nghiệm phân biệt
$\iff (m-2)(m+6)<0\iff -6<m<2\Rightarrow m=-5\Rightarrow M(3;-5)$.