Tìm tổng các nghiệmcủa phương trình : ${{\log }_{4}}\left(...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& {{x}^{3}}-x-2>0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\log }_{4}}\left( {{x}^{3}}-x-2 \right)+{{x}^{3}}+7x={{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+4{{x}^{2}}+7$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}-x-2 \right)+2{{x}^{3}}+14x={{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}+8{{x}^{2}}+14$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}-x-2 \right)+2\left( {{x}^{3}}-x-2 \right)={{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-8x+4 \right)+2\left( 4{{x}^{2}}-8x+4 \right) \left( 1 \right)$
Đặt hàm số f(t) = log2 ​t+ 2t,t0 có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t \ln 2}+2>0, \forall t>0$
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng ( 0;+ )
Từ (1) có $f\left( {{x}^{3}}-x-2 \right)=f\left( 4{{x}^{2}}-8x+4 \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x-2=4{{x}^{2}}-8x+4$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+7x-6=0\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn điều kiện).
Ta có phương trình có 1 nghiệm x= 2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2