Tìm tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình...

Trường hợp 1: ${{z}_{0}}\in \mathbb{R}$. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{0}}=2 \\
& {{z}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu ${{z}_{0}}=2$ thì ${{a}^{2}}-2a+10=0$ không có nghiệm thực $a$.
Nếu ${{z}_{0}}=-2$ thì ${{a}^{2}}-2a-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1+\sqrt{3} \\
& a=1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (1).
Trường hợp 2: ${{z}_{0}}\notin \mathbb{R}$. Khi đó phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}^{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ nên $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm phức của phương trình.
Vì $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ nên ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=4$.
Theo định lý Vi-ét, ta có: ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-2a}{1}={{a}^{2}}-2a$.
$\Rightarrow {{a}^{2}}-2a=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1+\sqrt{5} \\
& a=1-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$ (2).
Từ (1) và (2), ta có tổng các giá trị của số thực $a$ thỏa yêu cầu bài toán là: $1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}=4$.