Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm...

Xét phương trình $x^3-3x^2-m=0\iff x^3-3x^2=m$ $(\ast )$
Số nghiệm của $(\ast )$ là số giao điểm của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.
Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2$ có $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$, $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}$
Bảng biến thiên của hàm $f\left(x\right)$
Đồ thị của hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{x^3-3x^2-m}}$ có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình $(\ast )$ phải thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
+) TH1: Phương trình $(\ast )$ có duy nhất nghiệm $x\ne -1$
Dựa vào BBT ta thấy phương trình $(\ast )$ có nghiệm duy nhất $x\ne -1$ khi $[\begin{array}{rl}& m<-4\\ & m>0\end{array}$.
+) TH2: Phương trình $(\ast )$ có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm $x=-1$ và một nghiệm kép
Dựa vào BBT ta thấy phương trình $(\ast )$ có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm $x=-1$ và một nghiệm kép khi $m=-4$.
Kết hợp hai trường hợp ta có giá trị của tham số thỏa mãn đề bài là $[\begin{array}{rl}& m>0\\ & m\le -4\end{array}$.