Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm...

Xét phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=m$ $\left( * \right)$
Số nghiệm của $\left( * \right)$ là số giao điểm của đường thẳng $y=m$ và đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của hàm $f\left( x \right)$
Đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x+1}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m}$ có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình $\left( * \right)$ phải thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
+) TH1: Phương trình $\left( * \right)$ có duy nhất nghiệm $x\ne -1$
Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất $x\ne -1$ khi $\left[ \begin{aligned}
& m<-4 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$.
+) TH2: Phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm $x=-1$ và một nghiệm kép
Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm $x=-1$ và một nghiệm kép khi $m=-4$.
Kết hợp hai trường hợp ta có giá trị của tham số thỏa mãn đề bài là $\left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right.$.