Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình...

Cách 1.
Điều kiện: $x>-1$.
Ta có pt: $x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\Leftrightarrow x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1+m{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-m \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1$ (1).
Đặt: ${{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=t\Rightarrow x={{3}^{t}}-1$
Ta có, Pt (1) $\Rightarrow \left( {{3}^{t}}-m-1 \right).t=1\Rightarrow f\left( t \right)={{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1=m$, với $t\ne 0$.
Đặt: $f\left( t \right)={{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1$, với $t\ne 0$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}>0 , t\in \left( -\infty ; 0 \right), \left( 0 ; +\infty \right)$.
Suy ra, $f\left( t \right)={{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ; 0 \right)$ và $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Ta xét các giới sau:
$\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1 \right)=-1$, $\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1 \right)=+\infty $.
$\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1 \right)=- \infty $, $\underset{t\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1 \right)=+ \infty $.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1$, với $t\in \left( -\infty ; 0 \right), \left( 0 ; +\infty \right)$.
Ta có, số nghiệm của Pt (1) cũng chính là số nghiệm của đồ thị hàm số (C) $f\left( t \right)={{3}^{t}}-\dfrac{1}{t}-1$
và đồ thị hàm số $y=m$ (song song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa, vào đồ thị ở hình vẽ trên, để phương trình $x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]$ có ba nghiệm khi $m\in \left( - 1; +\infty \right)$.
Cách 2.
Điều kiện: $x>-1$.
Ta có: $x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]$ (1)
Nhận thấy $x=0$ không là nghiệm phương trình trên.
Pt (1) $\Leftrightarrow \left( x-m \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}=m$.
Đặt: $f\left( x \right)=x-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}\Rightarrow f'\left( x \right)=1+\dfrac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3.{{\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \left( -1 ; +\infty \right)$.
Suy ra $f\left( x \right)=x-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}$ là hàm số đồng biến $\forall x\in \left( -1 ; +\infty \right)$.
Dựa, vào BBT ở hình vẽ trên, để phương trình $x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]$ có ba nghiệm khi $m\in \left( - 1; +\infty \right)$.