Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+m=0$ có nghiệm $x\in \left( 0 ; 1 \right)$.
A. $m>1$.
B. $m\ge \dfrac{1}{4}$.
C. $m\le \dfrac{1}{4}$.
D. $m\le 1$.
A. $m>1$.
B. $m\ge \dfrac{1}{4}$.
C. $m\le \dfrac{1}{4}$.
D. $m\le 1$.
$\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+m=0$ $\left( 1 \right)$
Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Vì $x\in \left( 0 ; 1 \right)$ nên $t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+2t+m=0$ $\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}-2t$ $\left( 2 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $t<0$ $\Leftrightarrow $ đường thẳng $y=m$ có điểm chung với đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-2t$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-2t$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$
${f}'\left( t \right)=-2t-2$ ; ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra $m\le 1$ thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-2t$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.
Vậy với $m\le 1$ thì phương trình $\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+m=0$ có nghiệm $x\in \left( 0 ; 1 \right)$.
Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={{\log }_{2}}x$. Vì $x\in \left( 0 ; 1 \right)$ nên $t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+2t+m=0$ $\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}-2t$ $\left( 2 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0 ; 1 \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $t<0$ $\Leftrightarrow $ đường thẳng $y=m$ có điểm chung với đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-2t$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.
Xét hàm số $y=f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-2t$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$
${f}'\left( t \right)=-2t-2$ ; ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra $m\le 1$ thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)=-{{t}^{2}}-2t$ trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.
Vậy với $m\le 1$ thì phương trình $\log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+m=0$ có nghiệm $x\in \left( 0 ; 1 \right)$.
Đáp án D.