Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\log...

Với $x\in [1;3^{\sqrt{3}}]$ hay $1\le x\le 3^{\sqrt{3}}\Rightarrow$ $\sqrt{{\log }_3^{2}1+1}\le \sqrt{{\log }_3^{2}x+1}\le \sqrt{{\log }_3^2{3}^{\sqrt{3}}+1}$ hay $1\le t\le 2$ với $t=\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}$.
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: "Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thuộc đoạn $[1;2]$ ".
Ta có pt đề bài $\iff 2m=t^2+t+2$.
Xét hàm số:
$f\left(t\right)=t^2+t+2,\mathrm{\forall }t\in [1;2]$, $f^{\prime }\left(t\right)=2t+1>0,\mathrm{\forall }t\in [1;2]$
Suy ra hàm số đồng biến trên $[1;2]$.

Khi đó phương trình có nghiệm khi: $0\le 2m\le 4\iff 0\le m\le 2$.
Vậy $0\le m\le 2$ là các giá trị cần tìm.