Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1 ; {{3}^{\sqrt{3}}} \right]$ ?
A. $m\in \left[ 0 ; 2 \right]$.
B. $m\in \left( 0 ; 2 \right)$.
C. $m\in \left( 0 ; 2 \right]$.
D. $m\in \left[ 0 ; 2 \right)$.
A. $m\in \left[ 0 ; 2 \right]$.
B. $m\in \left( 0 ; 2 \right)$.
C. $m\in \left( 0 ; 2 \right]$.
D. $m\in \left[ 0 ; 2 \right)$.
Với $x\in \left[ 1 ; {{3}^{\sqrt{3}}} \right]$ hay $1\le x\le {{3}^{\sqrt{3}}}\Rightarrow $ $\sqrt{\log _{3}^{2}1+1} \le \sqrt{\log _{3}^{2}x+1} \le \sqrt{\log _{3}^{2}{{3}^{\sqrt{3}}}+1}$ hay $1\le t\le 2$ với $t=\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}$.
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: "Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1 ; 2 \right]$ ".
Ta có pt đề bài $\Leftrightarrow 2m={{t}^{2}}+t+2$.
Xét hàm số:
$f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+2, \forall t\in \left[ 1 ; 2 \right]$, ${f}'\left( t \right)=2t+1>0, \forall t\in \left[ 1 ; 2 \right]$
Suy ra hàm số đồng biến trên $\left[ 1 ; 2 \right]$.
Khi đó phương trình có nghiệm khi: $0\le 2m\le 4\Leftrightarrow 0\le m\le 2$.
Vậy $0\le m\le 2$ là các giá trị cần tìm.
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: "Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1 ; 2 \right]$ ".
Ta có pt đề bài $\Leftrightarrow 2m={{t}^{2}}+t+2$.
Xét hàm số:
$f\left( t \right)={{t}^{2}}+t+2, \forall t\in \left[ 1 ; 2 \right]$, ${f}'\left( t \right)=2t+1>0, \forall t\in \left[ 1 ; 2 \right]$
Suy ra hàm số đồng biến trên $\left[ 1 ; 2 \right]$.
Khi đó phương trình có nghiệm khi: $0\le 2m\le 4\Leftrightarrow 0\le m\le 2$.
Vậy $0\le m\le 2$ là các giá trị cần tìm.
Đáp án A.