Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos 2x-(2m+1)\cos x+m+1=0$ có nghiệm trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)?$
A. $-1\le m<0.$
B. $-1<m<0.$
C. $-1\le m\le 0.$
D. $-1\le m<\dfrac{1}{2}.$
A. $-1\le m<0.$
B. $-1<m<0.$
C. $-1\le m\le 0.$
D. $-1\le m<\dfrac{1}{2}.$
Do $x\in \left( \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow \cos x\in \left[ -1;0 \right)$
Ta có: $\cos 2x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m+1=0\left( 1 \right).$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-(2m+1)\cos x+m=0 \\
& \Leftrightarrow 2\cos x(\cos x-m)-(\cos x-m)=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\cos x-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=\dfrac{1}{2}\notin \left[ -1;0 \right) \\
& \cos x=m \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình (1) có nghiệm thì $-1\le m<0.$
Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản dạng $\cos x=m l\grave{a} m\in \left[ -1;1 \right].$
Ta có: $\cos 2x-\left( 2m+1 \right)\cos x+m+1=0\left( 1 \right).$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-(2m+1)\cos x+m=0 \\
& \Leftrightarrow 2\cos x(\cos x-m)-(\cos x-m)=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\cos x-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=\dfrac{1}{2}\notin \left[ -1;0 \right) \\
& \cos x=m \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình (1) có nghiệm thì $-1\le m<0.$
Note: Phương pháp chung
Công thức lượng giác cơ bản: $\cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1.$ Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản dạng $\cos x=m l\grave{a} m\in \left[ -1;1 \right].$
Đáp án A.