Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=m{{x}^{3}}-({{m}^{2}}+1){{x}^{2}}+2x-3$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$.
A. $m=\dfrac{3}{2}$.
B. $m=0$.
C. $m=-2$.
D. $m\in \varnothing $.
A. $m=\dfrac{3}{2}$.
B. $m=0$.
C. $m=-2$.
D. $m\in \varnothing $.
Tập xác định : $D=\mathbb{R}$.
+ ${y}'=3m{{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2$.
+ ${{y}'}'=6mx-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$.
Hàm số đã cho là hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 nên ta có :
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& {{y}'}'\left( 1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3m-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)+2=0 \\
& 6m-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}-3m=0 \\
& {{m}^{2}}-3m+1<0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& {{m}^{2}}-3m+1<0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy chỉ có $m=\dfrac{3}{2}$ thỏa mãn $\left( * \right)$.
Vậy $m=\dfrac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ ${y}'=3m{{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2$.
+ ${{y}'}'=6mx-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)$.
Hàm số đã cho là hàm đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 nên ta có :
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& {{y}'}'\left( 1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3m-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)+2=0 \\
& 6m-2\left( {{m}^{2}}+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}-3m=0 \\
& {{m}^{2}}-3m+1<0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& {{m}^{2}}-3m+1<0 \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta thấy chỉ có $m=\dfrac{3}{2}$ thỏa mãn $\left( * \right)$.
Vậy $m=\dfrac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.